数学家回答有关球体和4D空间的问题扩大欧拉类的范围

EPFL数学家与普渡大学合作解决了一个存在30年之久的关于球体和4维空间的问题。结果为“欧拉类”带来了新的亮点，“欧拉类”是理解复杂空间的最强大工具之一。

对于数学家来说，欧拉类是通过将复杂空间切割成更简单的部分来理解复杂空间的最强大工具之一。它以第一个考虑这个想法的瑞士数学家伦纳德欧拉的名字命名。

“就像像DNA这样复杂的东西最终是由简单的原子组成的，正是这些简单片段的组装方式包含了重要的信息，而不是片段本身，”遍历和几何群论研究小组的负责人NicolasMonod教授说在洛桑联邦理工学院。他的团队与普渡大学的同事联手解决了一个关于球体的老问题。答案已发表在数学杂志Inventionesmathematicae上。

1958年，菲尔兹奖获得者约翰·米尔诺(JohnMilnor)在尝试仅使用圆和二维曲面构建空间时注意到一个问题：欧拉类在二维中的复杂程度是有限的。这一观察滚雪球般地进入了更高维度的整个研究领域，数学家们很快意识到米尔诺的“复杂性界限”并不适用于所有维度的空间。

Monod解释说，“几十年来一直悬而未决的问题是，在4维空间上粘合球体怎么样?它们如何组合在一起也有限制吗?”他继续说道：“在4维空间上粘合球体是一种特别重要的构造，因为这正是第一个‘奇异球体’的构造方式。”

理解空间的经典方法已被证明无法解决这个4维问题。因此，EPFL的数学家转向以瑞士数学家雅各布·伯努利(JacobBernoulli)命名的伯努利过程(Bernoulliprocess)寻求灵感。伯努利过程是一种抛硬币的模型，结合球体和欧拉类的研究，最终解决了这个问题。

“当我们着手解决这个问题时，发生了一件非常奇怪的事情，”莫诺说。“如果这么长时间都没有解决，那可能是因为用于理解空间的经典方法似乎都无法破解这个关于4维的特定问题。相反，我们转向了一个不太可能的灵感来源：抛硬币。”

作为一个有50-50机会猜硬币右边的游戏，这可能看起来很简单，但它的简单性具有误导性。“当我们开始越来越频繁地重复抛掷时，伯努利过程已经包含了概率论的许多高级特征，”Monod说。“事实上，中心极限定理——这是一种大数定律——甚至告诉我们，如果我们愿意足够长时间地抛硬币，这个简单的模型可以模拟自然界中许多最复杂的随机现象。”

概率和随机过程似乎与空间更高维度的分析没有太大关系，但数学既是一门科学，也是一门创造性艺术。“今年早些时候，我们发现伯努利的随机硬币游戏可以帮助解决一些困难的代数问题，非常多的非随机问题，”莫诺说。“这现在已经与球体和欧拉类的研究相结合，最终解决了关于4维空间的老问题：不，对于四维球体的欧拉类的大小根本没有限制。”

“所以硬币拯救了代数和几何，伯努利访问了欧拉类：事实上，数学家做事的方式不同，”他总结道。