数学教授获得国家科学基金会资助研究代数

艺术与科学学院的两位教授因其在同调代数方面的持续研究而获得了国家科学基金会 (NSF) 的资助。

克劳迪娅·米勒教授的项目名为“微分形式、微分算子和代数结构传递的同调方法”。

长期以来，学者们一直使用代数来研究几何中未解决的问题，例如研究人员如何找到奇点的度量。奇点是曲线、曲面或高维空间上不平滑的地方，即有尖点或与自身交叉。高度复杂的抽象结构在平滑的环境中更容易理解和可视化，而奇点则带来挑战和复杂性。

代数几何和交换代数给出的结构主干可以帮助研究人员了解如何测量奇点的极端程度或离平滑程度有多远。米勒将使用同调方法来深入了解这些问题，帮助研究人员了解如何测量奇点的极值，提取信息并将其呈现为可见的数学对象。

她将部署微分形式和算子来表征平滑性并创建新的代数结构，这些结构不仅产生不变量，而且还提供发现新不变量的工具。这项关于奇点的工作可以在计算机视觉和医学成像中得到应用，并与物理学中的弦理论有联系。

2024 年春季学期，米勒被选为加利福尼亚州伯克利西蒙斯劳弗数学科学研究所的著名研究教授。她将在该研究所进行一个学期的演讲和研究活动。这个紧张的项目是为杰出的数学家保留的，他们可以在前沿话题上进行合作。她将参加研讨会和讲习班，与其他驻场研究人员交流想法并指导博士后研究员。国家科学基金会的资助将使她能够在项目开始前的学期和项目结束后的那个夏天与其他大学的同事一起工作，既为紧张的项目做准备，又继续在那里开始的工作。它还将使她能够邀请访客到锡拉丘兹发表他们的工作、交流新想法并为大批博士生提供曝光机会。该系代数学生。

Josh Pollitz教授的项目名为“局部代数中的同伦方法和上同调支持”。

代数几何是现代数学的一个中心分支，专注于研究多项式方程组，这是整个数学的基础对象。但是，当多项式方程随着变量数量的增加而达到更高的维度时，代数几何的形状变得更难以可视化。交换代数提供了一个框架或语言，用于查看和理解高维代数几何中形状的属性。

波利茨将通过各种同调构造的视角来研究交换代数中的奇点。同调代数是对数学中某些结构及其对应关系的研究。

高度复杂的方程在平滑时更容易可视化。但是，高维数学对象的奇点、尖点或原本光滑的表面上的交叉点，使得方程形状的可视化变得更加困难。同调工具可以帮助研究人员了解如何测量奇点的极端，提取信息并将其以可见数学对象的形式呈现。这项研究可能在各种数学领域以及密码学等领域的实际应用中具有潜在的应用。

他计划利用国家科学基金会的资助去大学旅行并谈论他的研究，并提高雪城大学代数研究小组的知名度和实力，该小组每周举行一次会议，引入具有新想法的外部演讲者，并鼓励研究生旅行并在会议上发言。这笔资助对于早期职业研究人员来说可能很难获得，它将支持博士后、研究生和本科生的研究。该拨款的长期目标是将雪城大学建成交换代数和代数几何的中心。