滤波器ripple的介绍，Elliptic滤波器设计详解

很多朋友对滤波器ripple的介绍，Elliptic滤波器设计详解不是很了解，每日小编刚好整理了这方面的知识，今天就来带大家一探究竟。

本节将详细讲解椭圆函数滤波器（Elliptic Function Filter/Cauer Filter）的综合设计，结合之前的电路仿真工作，现在将椭圆滤波器集成到滤波器设计软件中，提供试用版，并且GitHub 是开源链接。

椭圆函数滤波器的特点和用途

椭圆函数滤波器（Elliptic Function Filter 或Cauer Filter，有时在微波射频中称为Achieser-Zolotarev 滤波器）是Cauer 在1930-1931 年首次使用椭圆有理函数（Elliptic Rational Function）近似设计的滤波器，其为其特点是通带和阻带均具有等纹波特性。与切比雪夫滤波器相比，它具有更陡峭的截止特性，在实际工程应用中得到广泛应用。例如，DDS输出级一般会加一个椭圆函数滤波器，滤除镜频成分，但其缺点是对器件值（指精度和Q值）要求非常严格。很多滤波器在理论上是可行的，但在实践中却很难实现。

事实上，椭圆函数滤波器的阻带纹波为零，表现出切比雪夫I型滤波器的特性，而当通带纹波为0时，则表现出逆切比雪夫滤波器（切比雪夫II型滤波器）的特性。当通带和阻带纹波均为0时，就表现出巴特沃斯滤波器的特性，椭圆函数滤波器可以说是滤波器的终极存在。

椭圆函数滤波器近似

如何从通带、阻带等纹波推导出椭圆函数特征多项式(2)，请参考《滤波器设计的近似方法——巴特沃斯、切比雪夫、椭圆》。

椭圆函数滤波器传递函数

椭圆函数滤波器的幅频响应传递函数为：

椭圆函数滤波器的传递函数由其定义推导出来，即从通带和阻带内纹波相等出发，推导出椭圆函数滤波器的特征函数表达式，满足以下关系：

式中为雅可比椭圆函数，即通带频率与阻带频率的比值，即通带纹波与阻带纹波之比（注意这里的纹波是线性坐标中的值），其中总和由阶次方程（度方程）接触给出：

可以看到这个公式（2）和切比雪夫多项式

类比形式相同，实际上切比雪夫滤波器是椭圆函数滤波器的特例，即阻带纹波无穷大且阻带频率无穷大时的特例。

类似地，当通带纹波为0，通带频率也为0时，立即可以得到逆切比雪夫滤波器。

当通带纹波为0时，阻带纹波为无穷大，通带频率为0，阻带频率为无穷大，即可以得到逆切比雪夫滤波器。

下图为相同阶数、相同截止频率的三个滤波器的动画显示：

椭圆到切比雪夫滤波器，从60dB 变为1000dB 动画：

椭圆到逆切比雪夫滤波器，从3dB 变为0.000001dB 动画：

椭圆到巴特沃斯滤波器，从60dB 到1000dB 和从3dB 到0.000001dB 动画：

椭圆函数滤波器的极点和零点

椭圆函数滤波器的极点可以通过求解传递函数的分母为0 : 来求解

其中是过滤器阶数。椭圆函数滤波器的零点和极点是相同的，这也比较容易理解。将其代入频率响应表达式中，一般除法后椭圆函数滤波器的零点和极点相同。在复平面中找到对应的极点位置，得到：

滤波器零极点分析工具可以对各种滤波器进行零极点分析。查看源代码。下图为改变椭圆函数滤波器参数时滤波器的零极点和频率响应变化的仿真结果。

下图是不同类型滤波器：的零点和极点对比

可以看出，椭圆函数滤波器的极点形状并不是椭圆，所以之前的猜想是不正确的。椭圆函数滤波器的名字并不是因为它的极点形状是椭圆，而是因为它的衰减特性可以用雅可比椭圆函数来描述。滤波器的名称由特征函数决定。可见后面讨论的贝塞尔滤波器、高斯滤波器、勒让德滤波器都是根据特征函数或传递函数来命名的。

下图是滤波器在-平面上的图，从中我们可以看到4阶椭圆函数滤波器的极点和零点的分布（注意这个不能直接通过电路合成，需要经过莫比乌斯变换后合成，见下）：

滤波器阶数由衰减决定

椭圆函数滤波器的参数如下图(,)所示：

椭圆函数滤波器的阶数和滤波器的衰减参数由阶数方程确定。阶次方程将椭圆函数滤波器的阶次、纹波以及通带和阻带的频率联系起来。其根本原理是由于椭圆积分方程的求解需要使虚部的周期相同，实部的周期为整数倍，这样才能满足通带、阻带等纹波。阶次方程的数值计算采用兰登变换（Landen Transform，链接提供了多种计算方法），现在有现成的迭代方法可以求解，Matlab可以使用ellipdeg函数来求解。

上式是已知通带阻带频率，通带阻带纹波阶数，该值可能是小数，需要进行四舍五入，四舍五入后需要用一阶方程求解对应的值。

这里还给出了阶次方程的直接求解方法（也是Jacobi提出的模方程，Matlab中也使用这个算法）：

这是匹配的三阶椭圆函数滤波器设计示例：

无与伦比的椭圆函数滤波器设计

不匹配的椭圆函数滤波器的传递函数为：

传递函数的零点和极点与匹配滤波器的零点和极点相同，不同的是，根据特征函数定义特征函数零点，使其等于0即可得到零点：

其中，是虚数，是雅可比椭圆的反正弦函数，是通带纹波，是滤波器的阶数，是增益因子，与前面的有效衰减：相同

通过以上解法，可以计算出滤波器的输入阻抗。与逆切比雪夫滤波器的设计一样，可以通过零点去除技术来合成所需的电路网络。

下面是一个无与伦比的三阶椭圆函数滤波器的设计示例：

偶阶椭圆函数滤波器设计

偶数阶椭圆函数滤波器独立于奇数阶滤波器设计的原因与之前的切比雪夫滤波器设计相同。也是因为0频率处的衰减与纹波具有相同的衰减，而无限频率处的衰减不为0。因此，解决这个问题的方法是使用频率变换，即双线性变换（也称为双线性变换）如莫比乌斯变换、莫比乌斯变换）:

基本原理是：

此时， 是偶次椭圆函数滤波器的第一个纹波最高点位置对应的频率。

然后，

此时， 是偶数阶椭圆函数滤波器最后一个零位置对应的频率。

通过以上条件获得：

在：

以下是匹配的四阶椭圆函数滤波器设计示例：

不同滤波器通带类型之间的转换

只要有低通原型，其他滤波器通带类型之间的转换与巴特沃斯滤波器相同。

椭圆函数滤波器设计软件

基于Matlab的appdesign工具，开发了一套椭圆函数滤波器设计软件。主要特点是：

支持椭圆函数滤波器，支持切比雪夫滤波器（Chebyshev I）、逆切比雪夫滤波器（Chebyshev II、Inverse Chebyshev）、巴特沃斯滤波器（Butterworth）设计

支持4种不同的滤波器通带类型（LPF、HPF、BPF、BRF）设计

T型、PI型结构滤波器可随意切换

可以设置阻带衰减来确定滤波器阶数

可设置通带衰减来合成滤波器

负载及终端阻抗可自由配置，支持一端负载（源端电阻短路、源端电流源、终端开路、终端短路）设计

幅频响应分析、零极点分析、瞬态分析

可显示理想频率响应、零极点和实际模拟频率响应、零极点

可支持实际标准器件近似设计

椭圆LPF 设计示例

设计一个7 阶低通椭圆滤波器，其-3dB 截止频率为1GHz，阻带纹波为60dB，通带纹波为1dB。输入和输出阻抗均为50欧姆。设计流程如下：

最终设计参数如下：

零极点仿真结果：

椭圆BPF 设计示例

设计一个六阶带通椭圆滤波器，通带纹波0.1dB，阻带衰减70dB，中心频率1GHz，带宽500MHz，输入50欧姆，高阻抗输出。最后，进行瞬态仿真。设计流程如下：

最终设计参数如下：

瞬态仿真结果：

该程序的Matalb源代码已上传到GitHub（https://github.com/etools361/MatlabEllipticFilterDesignApp）。有兴趣的同学可以下载试用体验，当然也欢迎技术交流。

审计唐子红

以上知识分享希望能够帮助到大家！