了解十大经典机器学习算法之一:PCA算法

很多朋友对了解十大经典机器学习算法之一:PCA算法不是很了解，每日小编刚好整理了这方面的知识，今天就来带大家一探究竟。

PCA(主成分分析)是十大经典机器学习算法之一。主成分分析法是由皮尔逊于1901年提出的，后由霍特林于1933年发展成为一种多元统计方法。

对于多维度的数据，首先要做的就是在尽可能保证数据本质的前提下，降低数据中的维度。降维是一种数据集预处理技术，通常在数据应用于其他算法之前使用。它可以去除数据中的一些冗余信息和噪声，使数据更加简单高效，从而达到提高数据处理速度，节省大量时间和成本的目的。降维也成为一种广泛使用的数据预处理方法。

目前处理降维的技术有很多，如SVD奇异值分解、主成分分析(PCA)、因子分析(FA)、独立成分分析(ICA)等。今天我重点讲一下主成分分析(PCA)。

PCA(主成分分析)算法的目的是在“信息”损失较少的前提下，将高维数据转化为低维数据。通过提取主成分的最大个体差异，还可以用来减少回归分析和聚类分析中的变量个数，从而减少计算量。PCA(主成分分析)通常用于探索和可视化高维数据集，也可用于数据压缩、数据预处理等。

PCA算法的概念：PCA(PrincipalComponent Analysis)主成分分析，也称为Karhunen-Loeve变换，是一种用于探索高维数据结构的技术。

PCA是一种常用的降维技术。PCA的思想是将维度特征映射到维度上，这是一种全新的正交特征。这个维度特征称为主分量，是重构的维度特征。在PCA中，数据从原坐标系转换到新坐标系，新坐标系的选择与数据本身密切相关。第一新坐标轴选择原始数据中方差最大的方向，第二新坐标轴选择与第一坐标轴正交且方差最大的方向。

对原始数据中的多个特征重复该过程。大部分差异包含在前几个新轴中。所以可以忽略剩下的坐标轴，也就是降低数据的维度。

PCA算法的本质：PCA算法的本质是寻找一些投影方向，使这些投影方向上的数据方差最大，并且这些投影方向相互正交。这实际上是寻找新的正交基，并计算原始数据在这些正交基上投影的方差的过程。方差越大，相应的正交基包含的信息就越多。原始数据的协方差矩阵的特征值越大，对应的方差越大，对应的特征向量上投影的信息量越大。

另一方面，如果特征值很小，则意味着数据在这些特征向量上投影的信息很小，可以删除特征值小的方向上的数据，从而达到降维的目的。

PCA将可能相关的高维变量合成线性独立的低维变量，称为主成分。新的低维数据集尽可能地保留了原始数据的变量。简而言之，PCA本质上是以方差最大的方向作为主要特征，对各个正交方向上的数据进行“解耦”，即使它们在不同的正交方向上不相关。

PCA算法中的术语1、样本的“信息量”是指样本在特征方向上投影的方差。方差越大，该特征的样本间差异越大，因此该特征越重要。在分类问题中，样本的方差越大，越容易区分不同的样本。

2、方差希望投影后的值尽可能分散，分散的程度可以用数学方差来表示。在统计描述中，方差用于计算每个变量(观察值)与总体均值之间的差异。这里，一个场的方差可以看作是每个元素与场平均值之差的平方和的平均值，即：

3、协方差对于两维降维为一维的问题，找到方差最大化的方向就足够了。但是对于更高维的问题，需要协方差来表示其相关性。即：PCA理论基础：PCA理论基础如下：1)最大方差理论。2)最小误差理论。3)轴相关理论。PCA算法流程：1)去平均，即每个比特特征减去自己的平均值；2)计算协方差矩阵；3)计算协方差矩阵的特征值和特征向量；

4)将特征值从大到小排序；5)保持最大的特征向量；6)将数据转换到由特征向量构建的新空间中。PCA降维准则：1)最近重构：重构后样本集中所有点的误差之和离原始点最小。2)最大分离度：尽可能分离样本在低维空间的投影。PCA算法的优点：1)使数据集更容易使用；2)降低算法的计算成本；3)去除噪声；4)使结果易于理解；

5)完全没有参数限制。PCA算法的缺点：1)如果用户对观察对象有一些先验知识，掌握了数据的一些特征，但不能通过参数化等方法干扰处理过程，可能达不到预期效果，效率不高；2)特征值分解有一定的局限性，如变换的矩阵必须是方阵；3)在非高斯分布的情况下，PCA方法得到的主成分可能不是最优的。

PCA算法的应用：PCA算法已广泛应用于高维数据集的探索和可视化，也可用于数据压缩、数据预处理等领域。它广泛应用于机器学习中，如图像、语音、通信的分析和处理。PCA算法的主要目的是“降维”，从数据中去除一些冗余信息和噪声，使数据更加简单高效，提高其他机器学习任务的计算效率。

结论：主成分分析是一种常用的数据分析方法。PCA通过线性变换将原始数据转化为各维的一组线性独立表示，可用于识别和提取数据的主要特征成分。通过将数据坐标轴旋转到数据角度中最重要的方向(最大方差);然后通过特征值分析，确定要保留的主成分个数，舍弃其他非主成分，从而降低数据的维数。

降维使数据更简单高效，从而达到提高数据处理速度的目的，节省大量时间和成本。降维也成为一种广泛使用的数据预处理方法。PCA算法已广泛应用于高维数据集的探索和可视化，还可用于数据压缩、数据预处理、图像、语音、通信分析与处理等领域。

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