什么是卷积，卷积的意义

很多朋友对什么是卷积，卷积的意义不是很了解，每日小编刚好整理了这方面的知识，今天就来带大家一探究竟。

卷积的定义卷积是两个变量在一定范围内相乘后求和的结果。如果卷积的变量是序列x(n)和h(n)，卷积的结果，其中星号*表示卷积。当时序n=0时，序列h(-i)是h(i)的时序I反转的结果；时间序列的反转使h(i)绕纵轴旋转180度，所以乘法后求和的计算方法称为卷积和，简称卷积。

另外，n是h(-i)的位移，不同的n对应不同的卷积结果。如果卷积的变量是函数x(t)和h(t)，那么卷积的计算就变成，其中p是一个积分变量，积分也是一个和，t是函数h(-p)移动的量，星号*表示卷积。卷积定理卷积定理指出函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即一个域中的卷积等价于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积对应于频域中的乘积。

F(g(x)*f(x))=F(g(x))F(f(x))其中F代表傅立叶变换。这个定理对于傅里叶变换的各种变体也是成立的，比如拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、z变换、梅林变换和哈特利变换(参见Mellininversiontheorem)。在调和分析中，它也可以推广到定义在局部紧阿贝尔群上的傅立叶变换。

卷积定理可以简化卷积运算。对于长度为n的序列，根据卷积的定义计算需要2n-1组对位乘法，其计算复杂度为：而用傅里叶变换将序列变换到频域后，只需要一组对位乘法。在使用傅立叶变换的快速算法后，总的计算复杂度为。这一结果可应用于快速乘法计算。

卷积的含义是模板和图像之间的卷积。对于图像上的一个点，让模板的原点与该点重合，然后将模板上的点与图像上对应的点相乘，再将各点的乘积相加，得到该点的卷积值。对图像上的每个点都这样做。因为大多数模板是对称的，所以模板不会旋转。卷积是求两条曲线重叠面积的积分运算。可以看作是加权求和，可以用来消除噪声，增强特征。

用一个点周围的点的像素值的加权平均值替换该点的像素值。加权叠加：对于线性时不变系统，如果系统的单位响应已知，那么单位响应与输入信号的卷积相当于输入信号在各个时间点的单位响应的加权叠加，直接得到输出信号。一般来说，在输入信号的每个位置，叠加一个单位响应，就得到输出信号。这就是为什么单位反应如此重要。

在输入信号的每个位置，叠加一个单位响应，得到输出信号。这就是为什么单位反应如此重要。在输入信号的每个位置，叠加一个单位响应，得到输出信号。这就是为什么单位反应如此重要。卷积卷积的应用是一种线性运算，图像处理中常见的掩模运算是卷积，它广泛应用于图像滤波。

卷积关系最重要的情况之一是信号与线性系统或数字信号处理中的卷积定理。利用该定理，可以将时域或空间域的卷积运算等效为频域的乘法运算，从而可以利用FFT等快速算法实现有效计算，节省运算成本。工程和数学中的应用

在统计学中，加权移动平均是一种卷积。在概率论中，两个统计独立变量x和y之和的概率密度函数是x和y的概率密度函数的卷积，在声学中，回声可以用源声音和一个反映各种反射效应的函数的卷积来表示。在电子工程和信号处理中，任何线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数(系统的冲激响应)进行卷积来获得。在物理学中，任何线性系统(符合叠加原理)都有卷积。

介绍一个概率的实际应用例子。假设需求到达时间的到达率为泊松()分布，需求大小的分布函数为d(。)，单位时间需求的分布函数为F(x):其中D(k)(x)为k阶卷积。卷积是一种线性运算，图像处理中常见的掩模运算是卷积，它广泛应用于图像滤波。卡斯尔曼的书非常详细地介绍了卷积。

高斯变换是用高斯函数对图像进行卷积。高斯算子可以直接从离散高斯函数得到：对于(I=0；我《N；I){ for(j=0；j《N；j){ g[j]=exp(-((i-(n-1)/2)^2(j-(n-1)/2)^2))/(2*delta^2))；sum=g[I * N j]；}}除以sum，归一化运算符n为滤镜大小，delta可选。

首先，在提到卷积之前，必须提到卷积的背景。卷积是在信号和线性系统的基础或者背景上出现的，没有这个背景单独谈卷积是没有意义的，除了所谓卷积公式中的数学意义和积分(或者求和离散化)。

信号与线性系统讨论的是信号通过线性系统后的变化(即输入输出之间的数学关系和它所通过的所谓系统)。所谓线性系统的含义就是这个所谓系统带来的输出信号和输入信号之间的数学关系是线性的。

因此，实际上，都是要根据我们需要待处理的信号形式，来设计所谓的系统传递函数，那么这个系统的传递函数和输入信号，在数学上的形式就是所谓的卷积关系。

卷积关系最重要的一种情况，就是在信号与线性系统或数字信号处理中的卷积定理。利用该定理，可以将时间域或空间域中的卷积运算等价为频率域的相乘运算，从而利用FFT等快速算法，实现有效的计算，节省运算代价。

在地震中的应用

地震勘探中，在地表激发点激发的地震子波（seismicwavelet）向地下传播，当遇到地下波阻抗界面时，一部分能量就会作为反射地震波向上反射回地表，被地面的传感器接收，随着地震波不断向下传播、反射、接收，就会记录一系列时间延迟的地震波（大地滤波后的地震子波），称为地震记录。这一过程或地震记录可以用数学模型描述。

如果假设地下介质为古皮奥（Goupilaud）的水平层状介质模型，子波为雷克（Ricker）子波，地震记录可以看作是由震源子波与地下反射率函数、多次反射、仪器等诸多因素的相褶积的过程，令x（t），w（t）和n（t）分别表示地震记录，地震子波及噪声，褶积过程数学模型描述为：长期以来，褶积模型广泛用于描述地震信号。

顾名思义，反褶积就是褶积的逆过程，从地震记录x（t）中恢复出反射率函数r（t）。

以上知识分享希望能够帮助到大家！