傅里叶变换的意义和性质，傅里叶变换的意义

很多朋友对傅里叶变换的意义和性质，傅里叶变换的意义不是很了解，每日小编刚好整理了这方面的知识，今天就来带大家一探究竟。

学习傅里叶变换需要面对大量的数学公式，数学功底不好的同学一听到傅里叶变换就头疼。事实上，很多数学功底很好的数字信号处理专业的学生，可能并没有理解傅立叶变换的真正含义，所以学以致用！

其实傅里叶变换的相关运算已经很成熟了，有现成的函数可以调用。对于大多数只需要用好傅里叶变换的同学来说，重要的不是记住那些枯燥的公式，而是理解傅里叶变换的意义和作用。本文试图在没有一个数学公式的情况下，深入浅出地阐述傅里叶变换的含义、意义和方法，希望大家能更接近傅里叶变换，并善加利用。伟大的傅立叶，巨大的争议

1807年，39岁的法国数学家傅立叶在法国科学学会上发表了一篇论文(此时还不能发表，但将在21年后发表)，当时的论文中有一个颇有争议的结论：“任何连续的周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组成”。这篇论文引起了法国另外两位著名数学家拉普拉斯和拉格朗日的极度关注！

58岁的拉普拉斯同意傅立叶的观点。71岁的拉格朗日(现在好像是院士了，不需要退休)反对，理由是“正弦曲线不能组合成有棱角的信号”。屈从于伦格兰德戴的威望，这篇论文直到伦格兰德戴去世15年后才得以发表。

后来科学家证明傅立叶和拉格朗日是对的！诚然，有限数量的正弦曲线不能组合成一个角度信号，然而，无限数量的正弦曲线的组合，从能量的角度来看，可以非常无限地逼近角度信号。

傅立叶变换的定义

后人扩展了傅立叶的论断：满足一定条件的函数可以表示为三角函数(正弦和/或余弦函数)或其积分的线性组合。如何得到这种线性组合？这就需要傅里叶变换。有哪些确定的条件？这是数学家研究的问题。对于大多数从事电参数测量的工程师来说，没有必要关注这个问题，因为电参数测量中遇到的周期信号都满足这个条件。

这样，在电参数的测量和分析中，我们可以用更通俗的话来描述傅立叶变换。任何周期信号都可以分解成DC分量和一组幅值、频率和相位不同的正弦波。分解的方法是傅立叶变换。而且这些正弦波的频率符合一个规律：它是某个频率的整数倍。这个频率称为基频，其他频率称为谐波频率。如果一次谐波的频率是基波频率的n倍，则称为n次谐波。

DC分量的频率为零，是基频的零倍。也可以称为零阶谐波。

傅立叶变换的意义

1、为什么要傅里叶变换？需要傅立叶变换来描述信号。只要能反映信号的特征，描述方法越简单越好！信号特征可以通过特征值来量化。所谓特征值，是指能够定量描述波形某一特性的数值。为了完整地描述一个波形，可能需要多个特征值。

比如正弦波可以完全用两个特征值来描述：振幅和频率；方波可以用幅值、频率、占空比三个特征值综合描述(单周期信号不考虑相位)。用示波器观察实时波形可以得到上述特征值，称为时域分析。

其实很多人习惯了时域分析。当他们想要理解一个信号的时候，他们肯定会说：“让我看看波形！”“不过，除了一些常见的有规律的信号，很多时候，你是看不懂波形的！复杂的就不说了。看下面的波形。你能看到路吗？

我们能看到的只是一个正弦波，它的振幅在按照一定的规律变化。如何记录这个波形的信息？尤其是量化记录！很难！实际上，经过傅里叶变换后，上面的波形是一个40Hz的正弦波叠加在一个50Hz的正弦波上。两者的振幅不同。40Hz的幅度越大，波动幅度越大，波动频率为10Hz的差频(三相异步电动机在叠频温升试验中的电流波形)。看一个看似简单的波形：

这种波形有点像正弦波，但在变压器空载电流输入波形中比正弦波尖更常见，俗称“尖波”。正弦波和正弦波的区别很难准确量化。傅里叶变换后，得到以下频谱(振幅频谱):

主要包括3、5、7、9次谐波，一目了然！傅立叶变换是一种信号分析方法，它可以让我们对信号的组成和特征进行深入的、定量的研究。准确定量地描述了信号通过频谱(包括幅度谱、相位谱和功率谱)的方式。这是傅立叶变换的主要目的。

现在我们知道了傅里叶变换的目的，剩下的问题是2、为什么傅里叶变换要把信号分解成正弦波的组合，而不是方波或三角波？事实上，如果张三能够证明任何信号都可以分解成方波的组合，那么这种分解方法就可能被称为张三变换；Lisi可以证明任何信号都可以分解成三角波的组合，分解方法也可以称为Lisi变换。傅立叶变换是一种信号分析方法。

既然是分析方法，那它的目的应该是让问题更简单，而不是更复杂。

傅立叶选择了正弦波而不是方波或者其他波形，这正是它的伟大之处！正弦波有一个其他任何波形(除了恒定的DC波形)都不具备的特性：正弦波输入到任何线性系统中，仍然会出来，只是改变了幅值和相位，即输入到线性系统中的正弦波不会产生新的频率分量(非线性系统如变频器会产生新的频率分量，称为谐波)。

将单位幅值不同频率的正弦波输入到一个线性系统中，记录其输出正弦波的幅值与频率的关系，即可得到系统的幅频特性，记录输出正弦波的相位与频率的关系，即可得到系统的相频特性。线性系统是自动控制研究的主要对象。线性系统有一个特点是多个正弦波叠加输入一个系统，输出是所有正弦波独立输入时对应输出的叠加。

换句话说，只要研究正弦波的输入输出关系，就可以知道系统对任何输入信号的响应。这就是傅立叶变换的主要意义！

傅立叶变换怎么求？

文章开头说有成熟的函数调用傅立叶变换。本文只讲述如何理解傅里叶变换的思想。如果你掌握了这个思路，你不需要记住公式，也不需要调用任何函数，你自己就可以编一个简单的程序。就算不会编程，只要学过三角函数，至少也能理解傅里叶变换的过程。

傅立叶的伟大不在于如何进行傅立叶变换，而在于“任何连续的周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组成”的伟大结论。知道了这个论断，只要知道正弦函数的基本特征，变换并不难，不用记公式就能实现傅里叶变换！正弦函数有一个称为正交性的特性。所谓正交性，是指任意两个不同频率的正弦波的乘积，它们在共周期内的积分等于零。

这是一个非常有用的特性。我们可以利用这个特性设计如下的检测器(以下简称检测器A):检测器A由一个乘法器和一个积分器组成。乘法器的一个输入是已知频率F的单位幅值正弦波(以下简称标准正弦信号F)，另一个输入是待转换的信号。检波器A的输出只与待转换信号中频率为f的正弦分量的幅度和相位有关。

要转换的信号可能包含也可能不包含频率为f的分量，简而言之，它可能包含各种频率分量。总之，要转换的信号是未知的，可能是复杂的！没关系。让我们看看要变换的信号是否包含F分量。

因为其他频率分量和标准正弦信号f的乘积的积分都等于零，所以检波器A可以把它们当作不存在！通过检波器A后，输出只是一个与F分量有关的量，等于待转换信号中F分量与标准正弦信号F的乘积的积分.

很容易得到的结论是：如果输出不等于零，就说明输入信号包含f分量!这个输出是否就是f分量呢？答案：不一定!正弦波还有下述的特性：相同频率的正弦波，当相位差为90时(正交)，在一个周期内的乘积的积分值等于零；当相位相同时，积分值达到最大，等于两者的有效值的乘积，当相位相反时，积分值达到最小，等于两者的有效值的乘积取反。

我们知道标准正弦信号f的初始相位为零，但是，我们不知道f分量的初始相位!如果f分量与标准正弦信号f的相位刚好差90(或270)，检波器A输出也等于零!为此，我们再设计一个检波器B：检波器B与检波器A的不同之处在于检波器B用一个标准余弦信号f(与标准正弦信号A相位差90)替代滤波器A中的标准正弦信号f。

如果待变换信号中包含f分量，检波器A和检波器B至少有一个输出不等于零。

利用三角函数的基础知识可以证明，不论f分量的初始相位如何，检波器A和检波器B输出信号的幅值的方和根就等于f分量的幅值；而检波器B和检波器A的幅值的比值等于f分量初始相位的正切，如此如此……即可求出f分量的相位。我们再把标准正弦信号f和标准余弦信号f的频率替换成我们关心的任意频率，就可以得到输入信号的各种频率成分。

如果知道输入信号的频率，把这个频率作为基波频率f0，用f0、2f0、3f0依次替代标准正弦信号f和标准余弦信号f的频率，就可以得到输入信号的基波、2次谐波和3次谐波。

这就是傅里叶变换!什么？不会积分？没有关系，实际上，在谐波检测仪、电能质量分析仪等各类电参量测量仪器中，现在用的都是基于交流采样的离散傅里叶变换，在离散信号处理中，累加就是积分!傅里叶变换就是这么简单，您学会了吗？

审核编辑：李倩

以上知识分享希望能够帮助到大家！