傅里叶变换的意义和理解(通俗易懂)，傅里叶变换意义是什么

很多朋友对傅里叶变换的意义和理解(通俗易懂)，傅里叶变换意义是什么不是很了解，每日小编刚好整理了这方面的知识，今天就来带大家一探究竟。

傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，他的英文原名是让巴普蒂斯约瑟夫傅里叶(1768-1830)。傅立叶对热传递非常感兴趣。1807年，他在法国科学学会发表论文，用正弦曲线描述温度分布。在论文中，当时有一个有争议的决定：任何连续的周期信号都可以由一组合适的正弦曲线组成。

当时有两个人用傅立叶变换来评论这篇论文，他们是约瑟夫刘易斯拉格朗治(1736-1813)和皮埃尔西蒙拉普拉斯(1749-1827)。当拉普拉斯和其他审稿人投票决定发表这篇论文时，拉格朗日坚决反对。在他生命的接下来的六年里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法不能表达角度信号，比如

法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作。幸运的是，傅立叶有其他事情要忙。他参加了政治运动。拿破仑远征埃及后，法国大革命被推上断头台，他一直在逃避。这篇论文直到拉格朗日去世15年后才发表。

拉格朗日是对的：正弦曲线不能组合成有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常近似地表示它，这样两种表示就没有能量差了。基于此，傅立叶是对的。

之所以用正弦曲线代替方波或三角波，是因为分解信号的方法有无穷多种，但分解信号的目的是为了更简单地处理原始信号。用正弦和余弦来表示原信号会更简单，因为正弦和余弦有一个原信号没有的性质：正弦保真。输入一个正弦信号后，输出仍然是正弦的，只有幅度和相位可能发生变化，但频率和波形仍然相同。

而只有正弦曲线才有这种性质，这也是我们不用方波或者三角波来表示的原因。

傅立叶变换，表面上看是从时域到频域的变换，实际上相当于一种分解或基交换的运算。简单解释为“时域转频域”至少有两个问题。首先，虽然在很多情况下可以形象地理解时域和频域的关系，比如亮度分布及其空间频率，但有时候它们的关系并不是那么直接(比如量子力学的动量波函数和坐标波函数)。

其次，并没有说明为什么通过这样的操作就能得到正确的结果，往往会让人觉得“不清楚”，仿佛这是一种魔法。但一旦理解为分解(或基交换)运算，只要理解了“基函数”的含义，傅里叶变换就很容易理解(为什么，怎样，为什么)。对分解(或基交换)运算的理解可以很容易地推广到其他积分变换，如拉普拉斯变换。

但是，如果简单地把它想象成从时域到频域的变换，就很难解释拉普拉斯变换在频域的物理意义。我们先从积分变换的定义入手，详细阐述一下这个思想。

傅里叶变换的含义一般来说，积分变换有以下几种形式(参见维基百科):

其中K(t，u)是积分变换的核。这个积分变换的“物理意义”是f(t)在核函数复共轭的一组正交基上的展开系数。为什么？如果学过一点线性代数，可以发现积分变换有内积的形式。以u '为参数，如果K(u 't)与K(u，t)正交，积分变换无非是给出向量\vec{f}在基函数k * (t，u)上的投影/分量的通式。

需要注意的是，这里的基函数不是K(t，u)，而是k * (t，u)。这是因为内积的结果是一个“数”而不是一个向量，所以作为向量的两个相乘的函数之一必须是复共轭的(相当于换位)。以上推理从内积的Dirac括号表示的角度很容易理解：(TF) (U)=\乐浪k * | f \让乐——左向量括号\乐浪|本身有换位作用，要符合原来的定义，必须是bra中的k *。

在上面的讨论中，我提到了vector \vec{f}。它与函数f(t)有什么关系？想象一下普通空间中的三维向量\vec{f}\equiv(a，b，c)，其中a，b，c无非是向量\vec{f}在基向量\ vec {x}，\ vec {y}和\ vec {z}上的展开系数。也就是说，我们只要写出一个向量在所有基向量方向和所有基向量上的展开系数，就可以完全确定一个向量。

如果把任意函数的任意自变量(或多元函数的一组自变量)的可能值看作基向量，函数值看作展开系数，那么任意函数都可以看作一个向量的具体表示。当然，如果仔细推导，函数f(x)的一组正交基其实是\delta(x) (Dirac \delta函数)。

综上所述，函数f(t)是向量\vec{f}在基向量\{\delta(t)\}上的展开系数。任何其他正交函数集也可以用作基向量。基向量\ {k * \}中向量\vec{f}的展开系数是整数变换(Tf)(u)。也就是说，(Tf)(u)是\vec{f}的另一种表示。

因为f(t)和(Tf)(u)只是同一向量在不同正交基中的“表示”，自变量的符号不同，为了便于区分，我们说f(t)是T表示中的表示，(Tf)(u)是U表示中的表示。量子力学中的位置表象、动量表象等具体例子。以上解释还是比较抽象的。事实上，从上述观点来看，傅立叶变换在量子力学中似乎特别普遍。如果讨论仅限于薛定谔的画，我认为主要原因是：

由薛定谔方程的线性和哈密顿算符的厄米性质导出的态叠加原理。这使得任何“奇怪”的量子态总是被分解成一系列本征态的叠加。含时薛定谔方程的形式解是复指数函数的形式。复指数函数正是复傅立叶变换的核心。其他任何一阶偏微分算符的本征函数也是复指数函数的形式，一阶偏微分算符在量子力学中很常见(如动量算符)。

所以量子力学中的傅里叶变换往往具有非常直接的物理意义：一个态是从一个非本征态(使得这个算符对应的可观测物理量一般随时间变化)表达到一个本征态(比如含时薛定谔方程的形式解，一般是稳态)。如何从能量和时间的不确定关系推导出光谱的自然展宽？例如，对于有限寿命的激发态| \ psi \ rangele，其波函数\Psi(t)可以写成

它的能量是随时间变化的，所以不是“真正的”本征态(虽然一个激发态的有限寿命在量子场论中是真空能量涨落的锅，但在这里可能被认为没有达到真正的本征态)。能量不变的本征态的形式可以从含时薛定谔方程中得知，它应该是

进一步假设\psi(E)基本不随E变化(相对于指数部分，当E \gg \Delta E这似乎是旋转波近似时似乎是合理的)，那么\psi(E_0)和\psi(E)都可以忽略，但最后只有一个常系数，不影响线型(毕竟会归一化)。所以我们可以用e {-\ frac { iet } }作为基本函数展开| \ psi \ rangele，这样我们可以得到能量表示中的波函数如下：

可以看出，上面的展开恰好是傅里叶变换的形式。严格来说，核函数的形式是e {i}，这在数学上是一种“傅里叶逆变换”。但是我们从作为基函数的核函数的复共轭的角度来考虑——，考虑到数学中的傅立叶变换也是对称的，所以正负只是人为的项，没有本质的区别。

事实上，确实有很多量子力学的书，把变换称为E {i}(正)傅立叶变换的形式。从数学中的“正变换”也是从时域到非时域的角度来看，确实有道理。

最后，能量表示中| \ psi \ rangele的概率分布也是谱线类型。同样，不考虑归一化因子的情况下，线型为：洛伦兹线型，有些地方也叫布赖特-维格纳线型。

一句话：傅里叶变换作为积分变换的特例，无非是求一个向量在一组正交基函数中的展开系数，或者一个向量在一组给定的正交基函数中的表示。变换的时候不需要记忆是用I还是-i，只要记住实际使用时内积的表达式就可以了。

以上知识分享希望能够帮助到大家！